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国家公务员考试备考:数量关系之巧解不定方程组

新疆华图 | 2020-05-14 15:07

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国家公务员考试备考:数量关系之巧解不定方程组

  近年来,方程问题越来越成为数量关系部分考察的重点,而其中不定方程(组)问题又是考察的热点问题,不定方程(组)问题普遍比较容易,是大家必须拿分的点!!今天给各位准公务员们带来几道不定方程组的问题,大家一起来感受一下。

  第一类:未知数可取小数-赋“0”法

  【例1】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔,共花了32元,乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔,共花了43元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支,共用多少钱?

  A.10元B.11元

  C.17元D.21元

  【解析】A。设每支签字笔、圆珠笔、铅笔分别是x,y,z元,则可列出下列方程组:

  3x+7y+z=32,

  4x+10y+z=43;

  同时本题求的是x+y+z=?根据我们所了解的知识,三个未知数两个方程,且未知数可取任意值(整数、小数都可以),因此方程组的解有无数组,因此此题似乎无从下手。然而,恰恰是因为方程组的解无数组,此题才更为简单,因为选择题答案是唯一的,所以无论解有多少组,本题x+y+z必然是不变的,只有一个值。因此,我们可以考虑采用特值法,那么特值当然取“0”最好,这就是赋“0”法能够应用的理论基础。

  那么,我们可以赋y=0(因为y系数最复杂,令y=0计算最简单),则方程组变为:

  3x+z=32,

  4x+z=43;

  解出x=11,y=0,z=-1,所以x+y+z=10,答案选A。(注:不要纠结z是负值,此时求出负值结果也是对的!!)

  点评:不定方程组问题,只要未知数可以取小数,就可以采用赋“0”法。

  【练习1】(2016-423福建省考68)木匠加工2张桌子和4张凳子共需要10个小时,加工4张桌子和8张椅子需要22个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10张,共需多少个小时?

  A. 47.5 B. 50

  C. 52.5 D. 55

  【答案】C

  【解析】设桌子、凳子、椅子分别需要x,y,z小时,列出方程组:

  2x+4y=10,

  4x+8z=22;

  很明显,这是不定方程组问题,未知数可以取小数,所以采用赋“0”法,令x=0,得到y=2.5,z=2.75,所以10(x+y+z)=52.5,选C。

  当然,本题还有其他解法,但是赋“0”法绝对是最有效的方法,没有之一。

  第二类:未知数只能取整数-先消元,将三元一次不定方程组化为不定方程

  【例2】某次数学竞赛准备了22支铅笔作为一、二、三等奖的奖品,原计划一等奖每人发6支,二等奖每人发3支,三等奖每人发2支。后来又改为一等奖每人发9支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支。问有多少人获奖?

  A.5 B.6

  C.7 D.8

  【解析】D。设一二三等奖人数分别为x,y,z,则列出如下方程组:

  6x+3y+2z=22,

  9x+4y+z=22;

  本题与上题不同点在于未知数都必须是整数,那么此时一般来说方程组就会有确定的解,此时我们需要先进行消元,将不定方程组转化为不定方程,我们用下面的式子乘以2减去上面的式子来消去z,得到:12x+5y=22,可以看出x一定为1,据此解出x=1,y=2,z=5,所以答案选D。

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