1. 有一篇文章，老李让小张数一数有多少字，小张二个二个一数最后剩一个，三个三个一数最后剩一个，七个七个一数最后剩一个，这篇文章共有多少字？
A.501
B.457
C.421
D.365
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，由题可知，这篇文章的字数减1，应是既是2又是3还是7的倍数，结合选项，只有C选项符合。
因此，选择C选项。
2. 若161和130除以一个正整数m后分别余7和9，那么m等于：
A.11
B.13
C.15
D.17
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，代入A选项，161÷11＝14…7，130÷11＝11…9，满足题目条件，即m＝11。
因此，选择A选项。
3. N为自然数，被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4。已知100＜N＜1000，则这样的数有（ ）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据“被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4”，可得（N＋1）可同时被9、7、5整除，所以（N＋1）是9、7、5的公倍数，即最小公倍数315的倍数。由于100＜N＜1000，可知（N＋1）为315，630，945，对应N值为314，629，944，共3个数。
因此，选择C选项。
4. 一个小于100的整数与5的差是4的倍数，与5的和是7的倍数，这个数最大是多少？
A.85
B.89
C.97
D.93
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，要求这个数最大，将选项由大到小依次代入。
C选项，97－5＝92，是4的倍数；97＋5＝102，102不是7的倍数，不符合题意，排除；
D选项，93－5＝88，是4的倍数；93＋5＝98，是7的倍数，符合题意。
因此，选择D选项。
5. 某企业组织员工外出参加公益活动，如果每辆车坐45人，则有15个员工没车坐；如果每辆车坐60人，那么可空出一辆车，其余车刚刚坐满，那么，参与此次公益活动的员工有（ ）名。
A.240
B.245
C.250
D.260
【答案】A
【解析】
解法一：
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，分别代入选项可得：
代入A选项，240÷45＝5（辆）…15（人），240÷60＝4辆，4＋1＝5辆，满足题中所有条件，排除B、C、D选项。
因此，选择A选项。
解法二：
第一步，本题考查余数问题，用方程法解题。
第二步，设第一次有x辆车，可列方程：45x＋15＝60（x－1），解得x＝5，则参与此次公益活动的员工有45×5＋15＝240（名）
因此，选择A选项。
6. 某公司组织员工进行上课培训，要求每间教室的人数相同，如果每间教室坐30人，还剩3名员工。如果减少一间教室，员工正好可以平均分到每间教室，那么该公司共有多少名员工？
A.253
B.363
C.343
D.433
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据题意，如果每间教室坐30人，还剩3名员工，可知员工总人数减3是30的倍数，代入选项，只有B选项符合。
因此，选择B选项。
7. 有43名学生要渡河游玩，若每艘船一次只能载5人，至少需要（ ）条船，才能一次性将所有学生都运至河对岸。
A.4
B.5
C.9
D.10
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据题意，43÷5＝8…3，即安排8条船运送，则还剩下3个人，故要想一次性将所有学生都运送到河对岸，至少需要8＋1＝9（条）船。
因此，选择C选项。
8. 有一个三位数，如果除以7，则余3，除以8余6，如果该三位数加上3后，刚好可以除尽5，则符合这样条件的三位数有（ ）个。
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，该三位数可写为7x+3，也可写为8y+6，或者5z+2（注意差3个相当于余2个）。先求满足其中两个表达式的最小值，8y+6是偶数，那么5z+2的尾数是2，则8y的尾数是6，最小值是56+6=62；可知后两个表达式可统一为40n+62（40是5、8的最小公倍数）。
第三步，再与第一个表达式统一，40n+62－3是7的倍数，则40n+10是7的倍数，最小的n应为5，也就是说满足三个表达式的最小值是262。那么该数可写为280m+262（280是5、7、8的最小公倍数），在100—999之间的数字有3个，分别在m=0、1、2的时候取得，是262、542、822。
因此，选择A选项。
9. 某图书馆向儿童福利院捐赠了一批绘本，若每个孩子分3本，则余下8本；若每个孩子分5本，则有一个孩子能分但分不到5本。那么，这批绘本共（ ）本。
A.23或26
B.22或27
C.26或29
D.29或32
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，根据“若每个孩子分3本，则余下8本”可知，绘本总量减去8是3的倍数，排除B选项。再根据“若每个孩子分5本，则有一个孩子能分但分不到5本”可知，绘本总量减去1~4能被5整除，且结果为孩子的个数减1，依次代入选项。
第三步，代入A选项，绘本总量为23时，人数为（23－8）÷3＝5（人），其中4人分得的本数为5×4＝20（本），剩余1人分得的本数为23－20＝3（本）；绘本总量为26时，人数为（26－8）÷3＝6（人），其中5人分得的本数为5×5＝25（本），剩余1人分得的本数为26－25＝1（本），均符合题意，正确。
因此，选择A选项。
10. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a同时这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍。则这个自然数是（ ）。
A.1795
B.1891
C.1893
D.1993
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，代入选项，1795÷8=224…3，A选项排除；1891÷8=236…3，B选项排除；1893÷8=236…5，C选项排除。
因此，选择D选项。
A.501
B.457
C.421
D.365
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，由题可知，这篇文章的字数减1，应是既是2又是3还是7的倍数，结合选项，只有C选项符合。
因此，选择C选项。
2. 若161和130除以一个正整数m后分别余7和9，那么m等于：
A.11
B.13
C.15
D.17
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，代入A选项，161÷11＝14…7，130÷11＝11…9，满足题目条件，即m＝11。
因此，选择A选项。
3. N为自然数，被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4。已知100＜N＜1000，则这样的数有（ ）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据“被9除余数是8，被7除余数是6，被5除余数是4”，可得（N＋1）可同时被9、7、5整除，所以（N＋1）是9、7、5的公倍数，即最小公倍数315的倍数。由于100＜N＜1000，可知（N＋1）为315，630，945，对应N值为314，629，944，共3个数。
因此，选择C选项。
4. 一个小于100的整数与5的差是4的倍数，与5的和是7的倍数，这个数最大是多少？
A.85
B.89
C.97
D.93
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，要求这个数最大，将选项由大到小依次代入。
C选项，97－5＝92，是4的倍数；97＋5＝102，102不是7的倍数，不符合题意，排除；
D选项，93－5＝88，是4的倍数；93＋5＝98，是7的倍数，符合题意。
因此，选择D选项。
5. 某企业组织员工外出参加公益活动，如果每辆车坐45人，则有15个员工没车坐；如果每辆车坐60人，那么可空出一辆车，其余车刚刚坐满，那么，参与此次公益活动的员工有（ ）名。
A.240
B.245
C.250
D.260
【答案】A
【解析】
解法一：
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，分别代入选项可得：
代入A选项，240÷45＝5（辆）…15（人），240÷60＝4辆，4＋1＝5辆，满足题中所有条件，排除B、C、D选项。
因此，选择A选项。
解法二：
第一步，本题考查余数问题，用方程法解题。
第二步，设第一次有x辆车，可列方程：45x＋15＝60（x－1），解得x＝5，则参与此次公益活动的员工有45×5＋15＝240（名）
因此，选择A选项。
6. 某公司组织员工进行上课培训，要求每间教室的人数相同，如果每间教室坐30人，还剩3名员工。如果减少一间教室，员工正好可以平均分到每间教室，那么该公司共有多少名员工？
A.253
B.363
C.343
D.433
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据题意，如果每间教室坐30人，还剩3名员工，可知员工总人数减3是30的倍数，代入选项，只有B选项符合。
因此，选择B选项。
7. 有43名学生要渡河游玩，若每艘船一次只能载5人，至少需要（ ）条船，才能一次性将所有学生都运至河对岸。
A.4
B.5
C.9
D.10
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，根据题意，43÷5＝8…3，即安排8条船运送，则还剩下3个人，故要想一次性将所有学生都运送到河对岸，至少需要8＋1＝9（条）船。
因此，选择C选项。
8. 有一个三位数，如果除以7，则余3，除以8余6，如果该三位数加上3后，刚好可以除尽5，则符合这样条件的三位数有（ ）个。
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，该三位数可写为7x+3，也可写为8y+6，或者5z+2（注意差3个相当于余2个）。先求满足其中两个表达式的最小值，8y+6是偶数，那么5z+2的尾数是2，则8y的尾数是6，最小值是56+6=62；可知后两个表达式可统一为40n+62（40是5、8的最小公倍数）。
第三步，再与第一个表达式统一，40n+62－3是7的倍数，则40n+10是7的倍数，最小的n应为5，也就是说满足三个表达式的最小值是262。那么该数可写为280m+262（280是5、7、8的最小公倍数），在100—999之间的数字有3个，分别在m=0、1、2的时候取得，是262、542、822。
因此，选择A选项。
9. 某图书馆向儿童福利院捐赠了一批绘本，若每个孩子分3本，则余下8本；若每个孩子分5本，则有一个孩子能分但分不到5本。那么，这批绘本共（ ）本。
A.23或26
B.22或27
C.26或29
D.29或32
【答案】A
【解析】
第一步，本题考查余数问题，用代入排除法解题。
第二步，根据“若每个孩子分3本，则余下8本”可知，绘本总量减去8是3的倍数，排除B选项。再根据“若每个孩子分5本，则有一个孩子能分但分不到5本”可知，绘本总量减去1~4能被5整除，且结果为孩子的个数减1，依次代入选项。
第三步，代入A选项，绘本总量为23时，人数为（23－8）÷3＝5（人），其中4人分得的本数为5×4＝20（本），剩余1人分得的本数为23－20＝3（本）；绘本总量为26时，人数为（26－8）÷3＝6（人），其中5人分得的本数为5×5＝25（本），剩余1人分得的本数为26－25＝1（本），均符合题意，正确。
因此，选择A选项。
10. 一个自然数被8除余1，所得的商被8除余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一个商是a同时这个自然数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的一个商是a的2倍。则这个自然数是（ ）。
A.1795
B.1891
C.1893
D.1993
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查余数问题。
第二步，代入选项，1795÷8=224…3，A选项排除；1891÷8=236…3，B选项排除；1893÷8=236…5，C选项排除。
因此，选择D选项。
